Difficultés en numération

Je remarque de plus en plus de difficultés dans la compréhension de notre numération décimale. Peut-être que les élèves ont moins de compétences pour ce concept qu’il y a quelques années, ou alors je m’intéresse davantage à ce qui coince dans la compréhension de celui-ci.

Les difficultés se retrouvent de façon courante dans ces compétences:

• Multiplication et division de nombres décimaux par 10, 100, …
• Multiplication et division de nombres décimaux par 0.1, 0.01, …
• Notation scientifique
• Confusion entre chiffre et nombre

Pour la notation scientifique, les grands nombres et la notation puissance accentuent les obstacles, en particulier chez les élèves qui ont des manques en numération. Que faire alors? Revenir au concept de base, coûte que coûte!

Numération de position

On le sait bien, notre numération est dite de position puisque c’est la position du chiffre dans le nombre qui lui donne sa valeur. Et la base utilisée est la base 10, d’où le système décimal.

Tout cela est vite dit, mais est-ce vraiment clair et acquis pour les élèves? Sûrement pas!

Les élèves ont bien appris |M|C|D|U|d|c|m|, avec des exercices pour indiquer le chiffre des centaines ou le nombre de centaines… Puis la multiplication par 10 et l’habituel ajout de zéro, si embêtant dans la suite.

Petit à petit, les élèves s’éloignent de la compréhension du concept de système décimal pour ne mal retenir des méthodes, des recettes. Même en niveau 1, je retrouve des élèves qui ne sont pas à l’aise avec la multiplication par 10 de nombres décimaux.

Notation scientifique

En 11CO arrive la notation scientifique. Les unités/dizaines/centaines sont bien loin en arrière, et la notion de puissance pas maîtrisée.

On ajoute donc, au-dessus d’une base fragile, ces obstacles:

• signification de la notation puissance
• multiplication de puissance de même base : addition des exposants
• division de puissance de même base : soustraction des exposants
• puissance négative
• utilisation de la calculatrice : touche puissance ou notation scientifique?
• sans parler de la résolution de problèmes, ce sera pour un article ultérieur…

Que faire? Lier les deux concepts!

Cela me paraît de plus en plus évident, mais ça n’a pas toujours été le cas pour moi. Et les discussion en salle des maîtres me confortent dans ce que je pense. Mes collègues n’ont pas le réflexe de revenir à la numération décimale pour expliquer la notation scientifique.

Regardons d’un peu plus près la numération de position de notre système décimal:

L’exposant du 10 indique la position du chiffre dans le nombre, comme par exemple:

$5372.8=5\cdot 10^3+3\cdot 10^2+7\cdot 10^1+2\cdot 10^0+8\cdot 10^{-1}$

Dès la 9CO, je profite d’utiliser les puissances de 10 et j’insiste sur la position du chiffre. Même si les puissances négatives n’ont pas été vues, je les utilise aussi, de même que les fractions $\frac{1}{10}=0.1$ = un dixième.

Ainsi, pour la multiplication et division par 10, 100, 0.1, 0.01, … je présente les choses ainsi:

On remarque que je propose déjà de multiplier par l’inverse au lieu de diviser, ou de diviser par l’inverse au lieu de multiplier. Cette notion passe bien si on parle de dizaine qui devient dixième, ou centième qui devient centaine.

Si je multiplie par une dizaine, l’unité devient dizaine.
Si je multiplie par un dixième, l’unité devient dixième.
En divisant, c’est l’inverse.

Et la notation scientifique…

Considérons le nombre $4.5\cdot 10^8$, sa mantisse vaut 4.5, c’est-à-dire

$4.5=4\cdot 10^0 + 5\cdot 10^{-1}$

Si je le multiplie par $10^8$, cela va simplement déplacer la position de chaque chiffre.

$4.5\cdot 10^8=450’000’000$

À gauche, le 4 est en position 0 et le 5 en position $-1$. À droite, le 4 est en position 8 et le 5 en position 7. Notons encore une petite difficulté pour les élèves, commencer à compter par zéro, plutôt inhabituel pour eux et le reste du monde…

Conclusion

Il me semble que c’est un long article pour simplement dire que multiplier par 10, ce n’est pas déplacer la virgule! Ce concept est simplement rappelé dès que nécessaire et transféré à la notation scientifique.

L’avantage, c’est qu’on conserve une seule façon de présenter et de comprendre, à travers mes trois années d’enseignement, ces concepts:

• la numération de position
• la multiplication ou division par 10, 100, 0.1, 0.01, …
• la notation scientifique.