La beauté fait souvent partie des mathématiques… En géométrie bien sûr, mais aussi à travers les fonctions, les nombres, et parfois les calculs ! L’activité proposée ici utilise les fractales, ces constructions infinies aux propriétés étonnantes, flirtant avec les limites et l’inconcevable.

Une construction est itérée un certain nombre de fois (une infinité, mais on peut s’arrêter avant) pour donner une figure remarquable et remarquée. Un triangle plein de trous, un tapis, un flocon de neige. Je suis resté dans les classiques, ça suffit pour le niveau de mes élèves.

J’ai créé un livret Geogebra qui contient le document PDF et trois animations pour projeter au tableau (ou à manipuler par les élèves) : accéder à l’activité ou télécharger le PDF.

Réalisation

Les élèves travaillent par groupe de 3 ou 4 pour déterminer l’aire ou le périmètre de ces figures, pour chaque étape de l’itération. Ils sont un peu guidés puisque le document présente déjà les figures réalisées, contrairement à l’activité que j’utilise aussi parfois tirée des manuels Sesamath, et un tableau leur permet d’indiquer leurs calculs.

La difficulté principale est d’écrire les réponses sous forme d’un calcul et pas seulement ce qui s’affiche sur la calculatrice. Le but est bien sûr de faire ressortir des écritures sous forme de puissances. Ils ont vu en 9CO ce que signifie la puissance, mais ça reste encore une notion peu maîtrisée. En plus, l’élève qui travaille avec des codes à virgule plutôt que des fractions sera rapidement coincé par des nombres vraiment pas pratiques à manipuler.

On profite également de travailler le calcul d’aire et de périmètre, pas encore complètement maîtrisé en 10CO (en particulier le périmètre d’une figure trouée). Il y a juste un problème pour l’aire du triangle, dont on ne connaît pas la hauteur. Il faut la leur donner (arrondie ou sous la forme \(\frac{\sqrt 3}{2}c\) mais la racine n’est pas non plus très connue…).

Et surtout, les élèves vont rapidement se trouver avec des puissances de fraction (périmètre du flocon de Koch de l’étape n = \(\left(\frac{4}{3}\right)^n p\), avec \(p\) le périmètre initial).

Je n’ai volontairement pas indiqué de colonne étape n pour limiter les difficultés. Mais je n’hésiterai pas durant la mise en commun d’aborder la formule générale. Nous sommes en début de 10CO, ils ont juste été sensibilités aux fonctions et au calcul littéral.

Remarque finale essentielle

Pour tout avouer, je vais tester l’activité lundi avec les deuxièmes années. J’ai fait ça avec les premières à plusieurs reprises, mais juste pour compter le nombre de triangles et pas pour calculer l’aire et le périmètre. Peut-être que je modifierai l’article dans quelques jours pour dire à quel point c’était trop difficile et qu’il faut changer l’activité…

Mise à jour post-activité

Après avoir testé, effectivement, c’est un peu difficile, ou du moins, il faut bien les guider. Pour les raisons suivantes :

  • en début de 10CO, ils ne maîtrisent pas les fractions
  • le calcul littéral n’est pas connu (mais ça ne gêne pas trop)
  • ils peinent à se concentrer sur le calcul et veulent seulement compter

J’ai comme prévu ajouté une colonne étape n, lors de la mise en commun, ils ont eu peur la première fois, mais ont cherché pour le tapis de Sierpinski… avec plus ou moins de réussite ! J’ai pu repérer les élèves qui auront de la facilité en calcul littéral.

L’activité irait peut-être mieux en 11CO lorsqu’ils connaissent tous les nombres et toutes les opérations. Mais je reste convaincu qu’elle est possible en début de 10CO pour aborder les puissances (sauf le calcul de l’aire du triangle de Sierpinski):

  • les élèves rencontrent une notion difficile, ils doivent s’engager pour comprendre ;
  • la notation « puissance » facilite grandement les écritures et la compréhension, ils devraient davantage l’accepter ensuite ;
  • la rapidité avec laquelle les nombres augmentent ou diminuent aide à comprendre la croissance exponentielle, à distinguer la puissance de la multiplication ;
  • rien n’empêche de revenir de temps en temps à une situation similaire, pour renforcer les écritures et l’assimilation des puissances.